3.15 Determinacion de la transformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales

Un factor lineal repetido es un término (s-a)n, donde a es un número real y n es
un entero positivo>=2. Recuerde que si (s-a)n aparece en el denominador de
una expresión racional, entonces se supone que la descomposición contiene n
fracciones parciales con numeradores y denominadores constantes (s-a),
(s-a)2,…,(s-a)n.

Por consiguiente, con a= 3 y n= 2, la transformada
anterior se escribe de la siguiente manera:

Al colocar los dos términos del lado derecho en un denominador común, se obtiene
el numerador 2s+5=A(s-3)+B , y esta identidad produce A=2 y B=11

3.14 tranformada inversa

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos
en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para Y(s), es decir,
Y(s)=G(s). Ahora, como L{y(t)}=Y(s) si pudiéramos devolvernos obtendríamos la
solución y(t) que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa
L^-1{Y(s)}, para hallar la función

Si F(s) es la transformada de Laplace de una función continua f(t), es decir,
L{f(t)}=F(s), entonces la transformada inversa de Laplace de F(s), escrita
L^1{F(s)}  es f(t), es decir,L^1{F(s)}=f(t) y(t)

3.13 Transformada inversa de laplace de la funcion Delta Dirac

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos
en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para  es decir,. Ahora como,si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa para hallar la funcion

Existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede no
ser única. En efecto, es posible que Para nuestro propósito esto no es tan malo como parece, pues, si  son continuas y de orden exponencial en
pero, sison continuas y de orden exponencial en  entonces se puede demostrar que las funciones son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos de
discontinuidad.

3.12 Funcion Delta Dirac

En la práctica conviene trabajar con otro tipo de impulso unitario, con una “función” que
aproxima            y se define mediante el límite siguiente:

El impulso unitario se le llama funcion de Delta Dirac

3.11 transformada de laplace de una funcion periodica

Es
muy común, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos eléctricos, la
presencia de una fuerza externa periódica.

Es
usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escalón, etc.
Por lo que es necesario calcular sus transformadas.

 

TEOREMA
(Transformada de una función periódica)Sea f: [0, + ∞] à R una función continua a trozos y de
orden exponencial en el intervalo [0, + ∞].

 

Si f (t) es periódica, con periodo T, entonces

 

 

3.10 teorema de convolucion

El teorema de convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la Transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).

Sean f y g dos funciones cuya convolución se expresa con   . (Notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ). Sea   el operador de la transformada de Fourier, con lo que   y   son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.

 

3.9 Transformada de integrales

Una transformada integral es cualquier transformada T aplicada sobre la función f(x) de la forma siguiente:

La entrada de esta función T encontramos una función f(t), y la salida otra función F(u). Una transformada es un tipo especial de operador matemático. En ella t₁ y t₂ son dos valores que dependen de su definición, y pueden variar desde hasta .
Hay numerosas transformadas integrales útiles. Cada una depende de la función K de dos variables escogida, llamada la función núcleo o kernel de la transformación.
Algunos núcleos tienen una K inversa asociada, K ^{− 1}(u,t) , que (más o menos) da una transformada inversa:

Un nucleo simétrico es el que es inalterado cuando las dos variables son permutadas.

3.8 Transformada de derivada

si f(t), f'(t)....f(n-1)(t) son continuas en [0, oo), son de orden exponencial, y si f ⁽ⁿ⁾(t) es continua parte por parte en [0,oo), entonces

En utilizar la transformada de Laplace en ecuaciones diferenciales, las
condiciones iniciales aparecen en transformar las derivadas de la función
incógnita. Para obtener la ecuación general se asigna un valor constante a las
condiciones iniciales. Este método suele ser útil tan solo si los coeficientes
de la ecuación diferencial son polinomios de orden menor que el grado de la
ecuación.

En general, para n>=1 , se tiene

3.7 Transformada De Funciones Multiplicadas por t n , y divididas entre t

La transformada de una función f(t) que se multiplicapor un monomio tn, la transformada de
un tipo especial de integral y la transformada de una función periódica. Las
dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se
han encontrado hasta este momento: ecuaciones integrales de Volterra,
ecuaciones integrodiferenciales y ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la
función de entrada es una función periódica definida por partes.



 

Multiplicación de una función por tn. La transformada de Laplace del producto de una función f(t) con t se puede encontrar mediante diferenciación de la transformada de Laplace de f(t). Para motivar este resultado, se supone que existe y que es posible
intercambiar el orden de diferenciación e integración. Entonces:

3.6 Propiedades de la transformacion de laplace linealidad, teorema de traslacion

Propiedadde linealidad de que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para algunas constantes:

Este primer teorema de traslación se conoce también con el nombre de primer teorema de desplazamiento Si se considera a s una variable real, entonces la gráfica de F (s – a) es la gráfica de F(s) desplazada en el eje s por la cantidad         

3.5.1 Transformada de laplace de la funcion escalon unitario

Funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien
activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre
un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener
que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con
estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada
función escalón unitario.

3.5 Funcion escalon unitario

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su nombre a Oliver Heaviside. Es una función continua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo:

Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda prendida indefinidamente.

Es la integral de la función delta de Dirac.

función escalón considerando u(0) = 1/2El valor de u(0) es causa de discusión. Algunos lo definen como u(0) = 0, otros u(0) = 1. u(0) = 1/2 es la opción usada más coherente, ya que maximiza la simetría de la función, y permite una representación de la misma a través de la función signo:

Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para u(0), de la siguiente forma:

Una forma de representar esta función es a través de la integral

3.4 transformada de laplace de funciones basicas

Esta transformada integral tiene una serie de  propiedades que la hacen útil en el análisis de  sistemas lineales. Una de las ventajas más  significativas radica en que la integración y derivación se  convierten en multiplicación y división. Esto  transforma las ecuaciones  diferenciales e integrales en  ecuaciones  polinómicas, mucho más fáciles de  resolver.
Otra aplicación importante en los sistemas lineales  es el cálculo de  la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante  la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la  señal de entrada. La realización de este  cálculo en el espacio de Laplace convierte la  convolución  en una multiplicación, habitualmente más  sencilla.
La transformada de Laplace toma su nombre en honor  de  Pierre-Simon  Laplace.
Cuando se habla de la transformada de Laplace,  generalmente se refiere a la versión unilateral.  También existe la transformada de Laplace bilateral, que  se define como sigue:

3.3 transformada de laplace de funciones basicas

Decimos que una función es continua a trozos si está definida y es continua en todo , salvo en un número finito de puntos , para . Para cada los límites existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si es uno de los extremos de .

En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos implica que las únicas discontinuidades de son discontinuidades de salto.
Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casi continua o que no son demasiado discontinua.
Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de Laplace es que entendemos porqué una función no crezca demasiado rápido.