3.15 Determinacion de la transformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales

Un factor lineal repetido es un término (s-a)n, donde a es un número real y n es
un entero positivo>=2. Recuerde que si (s-a)n aparece en el denominador de
una expresión racional, entonces se supone que la descomposición contiene n
fracciones parciales con numeradores y denominadores constantes (s-a),
(s-a)2,…,(s-a)n.

Por consiguiente, con a= 3 y n= 2, la transformada
anterior se escribe de la siguiente manera:

Al colocar los dos términos del lado derecho en un denominador común, se obtiene
el numerador 2s+5=A(s-3)+B , y esta identidad produce A=2 y B=11

3.14 tranformada inversa

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos
en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para Y(s), es decir,
Y(s)=G(s). Ahora, como L{y(t)}=Y(s) si pudiéramos devolvernos obtendríamos la
solución y(t) que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa
L^-1{Y(s)}, para hallar la función

Si F(s) es la transformada de Laplace de una función continua f(t), es decir,
L{f(t)}=F(s), entonces la transformada inversa de Laplace de F(s), escrita
L^1{F(s)}  es f(t), es decir,L^1{F(s)}=f(t) y(t)

3.13 Transformada inversa de laplace de la funcion Delta Dirac

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos
en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para  es decir,. Ahora como,si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa para hallar la funcion

Existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede no
ser única. En efecto, es posible que Para nuestro propósito esto no es tan malo como parece, pues, si  son continuas y de orden exponencial en
pero, sison continuas y de orden exponencial en  entonces se puede demostrar que las funciones son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos de
discontinuidad.

3.12 Funcion Delta Dirac

En la práctica conviene trabajar con otro tipo de impulso unitario, con una “función” que
aproxima            y se define mediante el límite siguiente:

El impulso unitario se le llama funcion de Delta Dirac

3.11 transformada de laplace de una funcion periodica

Es
muy común, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos eléctricos, la
presencia de una fuerza externa periódica.

Es
usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escalón, etc.
Por lo que es necesario calcular sus transformadas.

 

TEOREMA
(Transformada de una función periódica)Sea f: [0, + ∞] à R una función continua a trozos y de
orden exponencial en el intervalo [0, + ∞].

 

Si f (t) es periódica, con periodo T, entonces

 

 

3.10 teorema de convolucion

El teorema de convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la Transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).

Sean f y g dos funciones cuya convolución se expresa con   . (Notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ). Sea   el operador de la transformada de Fourier, con lo que   y   son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.

 

3.9 Transformada de integrales

Una transformada integral es cualquier transformada T aplicada sobre la función f(x) de la forma siguiente:

La entrada de esta función T encontramos una función f(t), y la salida otra función F(u). Una transformada es un tipo especial de operador matemático. En ella t₁ y t₂ son dos valores que dependen de su definición, y pueden variar desde hasta .
Hay numerosas transformadas integrales útiles. Cada una depende de la función K de dos variables escogida, llamada la función núcleo o kernel de la transformación.
Algunos núcleos tienen una K inversa asociada, K ^{− 1}(u,t) , que (más o menos) da una transformada inversa:

Un nucleo simétrico es el que es inalterado cuando las dos variables son permutadas.